Diferencia entre integral definida e indefinida

Si estás estudiando matemáticas, seguro has oído hablar de las integrales. Las integrales son una herramienta muy poderosa que nos permiten calcular áreas bajo una curva, encontrar la antiderivada de una función, entre otras cosas. Pero, ¿sabes cuál es la diferencia entre una integral definida e indefinida? En este artículo te lo explicaremos en detalle para que puedas entenderlo de una vez por todas.

Integral indefinida

La integral indefinida, también conocida como primitiva, es una función que, al ser derivada, produce la función original. Se escribe como ∫f(x)dx y se lee "integral de f de x, dx". Para resolver una integral indefinida, se deben encontrar todas las funciones que al ser derivadas den como resultado la función original.

Por ejemplo, si tenemos la función f(x) = x^2, la integral indefinida de f(x) sería F(x) = (1/3)x^3 + C, donde C es la constante de integración. Para comprobar que esta es la antiderivada de f(x), podemos derivar F(x) y ver si obtenemos la función original:

F'(x) = (d/dx)(1/3)x^3 + C

F'(x) = (1/3)(d/dx)(x^3) + (d/dx)(C)

F'(x) = (1/3)3x^2 + 0

F'(x) = x^2

Como se puede ver, al derivar F(x) obtenemos la función original f(x), por lo que la antiderivada de f(x) es F(x) = (1/3)x^3 + C.

Integral definida

La integral definida representa el cálculo del área bajo la curva de una función en un intervalo específico. Se escribe como ∫a^bf(x)dx y se lee "integral definida de a a b de f de x, dx". A diferencia de la integral indefinida, la integral definida produce un número como resultado.

Por ejemplo, si queremos calcular el área bajo la curva de la función f(x) = x^2 en el intervalo [0,2], podemos calcular la integral definida de la siguiente manera:

∫0^2 x^2 dx = (1/3)x^3 |_0^2

∫0^2 x^2 dx = ((1/3)(2)^3) - ((1/3)(0)^3)

∫0^2 x^2 dx = (8/3) - 0

∫0^2 x^2 dx = 8/3

Por lo tanto, el área bajo la curva de f(x) = x^2 en el intervalo [0,2] es de 8/3 unidades cuadradas.

La principal diferencia entre la integral definida e indefinida es que la integral indefinida es una función, mientras que la integral definida es un número. La integral indefinida representa la antiderivada de una función y la integral definida representa el área bajo la curva de una función en un intervalo específico. Esperamos que con este artículo hayas podido entender mejor la diferencia entre estas dos herramientas matemáticas tan importantes. ¡A practicar se ha dicho!